5. Parametrische Zykloidengleichung und Gleichung in kartesischen Koordinaten

Nehmen wir an, wir hätten eine Zykloide, die aus einem Kreis mit dem Radius a und einem Mittelpunkt im Punkt A besteht.

Wenn wir als Parameter, der die Position des Punktes bestimmt, den Winkel t=∟NDM wählen, um den sich der Radius, der zu Beginn des Rollens eine vertikale Position AO hatte, drehen konnte, dann werden die x- und y-Koordinaten des Punktes M verwendet wie folgt ausgedrückt werden:

x= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a Kosten

Die parametrischen Gleichungen der Zykloide haben also die Form:

Wenn sich t von -∞ auf +∞ ändert, erhält man eine Kurve, die aus unendlich vielen Zweigen besteht, wie sie in dieser Abbildung dargestellt sind.

Zusätzlich zur parametrischen Gleichung der Zykloide gibt es auch deren Gleichung in kartesischen Koordinaten:

Wobei r der Radius des Kreises ist, der die Zykloide bildet.

6. Probleme beim Finden von Teilen einer Zykloide und von Figuren, die von einer Zykloide gebildet werden

Aufgabe Nr. 1. Finden Sie die Fläche einer Figur, die durch einen Bogen einer Zykloide begrenzt wird, deren Gleichung parametrisch gegeben ist

und die Ox-Achse.

Lösung. Um dieses Problem zu lösen, werden wir die Fakten nutzen, die wir aus der Integraltheorie kennen, nämlich:

Fläche eines gekrümmten Sektors.

Betrachten Sie eine Funktion r = r(ϕ), die auf [α, β] definiert ist.

ϕ 0 ∈ [α, β] entspricht r 0 = r(ϕ 0) und daher der Punkt M 0 (ϕ 0 , r 0), wobei ϕ 0,

r 0 - Polarkoordinaten des Punktes. Wenn sich ϕ ändert und das gesamte [α, β] „durchläuft“, dann beschreibt der variable Punkt M eine gegebene Kurve AB

Gleichung r = r(ϕ).

Definition 7.4. Ein krummliniger Sektor ist eine Figur, die durch zwei Strahlen ϕ = α, ϕ = β und eine polar definierte Kurve AB begrenzt wird

Koordinaten nach der Gleichung r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Das Folgende ist wahr

Satz. Wenn die Funktion r(ϕ) > 0 und auf [α, β] stetig ist, dann ist die Fläche

Der krummlinige Sektor wird nach der Formel berechnet:

Dieser Satz wurde bereits früher im Thema des bestimmten Integrals bewiesen.

Basierend auf dem obigen Satz besteht unser Problem darin, die Fläche einer Figur zu finden, die durch einen Bogen einer Zykloide begrenzt ist, deren Gleichung durch die parametrischen Parameter x= a (t – sin t), y= a (1) gegeben ist – cos t) und der Ox-Achse wird auf die folgende Lösung reduziert.

Lösung. Aus der Kurvengleichung dx = a(1−cos t) dt. Der erste Bogen der Zykloide entspricht einer Änderung des Parameters t von 0 auf 2π. Somit,

Aufgabe Nr. 2. Ermitteln Sie die Länge eines Bogens der Zykloide

Der folgende Satz und seine Folgerung wurden auch in der Integralrechnung untersucht.

Satz. Wenn die Kurve AB durch die Gleichung y = f(x) gegeben ist, wobei f(x) und f ’ (x) auf stetig sind, dann ist AB korrigierbar und

Folge. Sei AB parametrisch gegeben

L AB = (1)

Die Funktionen x(t), y(t) seien auf [α, β] stetig differenzierbar. Dann

Formel (1) kann wie folgt geschrieben werden

Nehmen wir eine Änderung der Variablen in diesem Integral x = x(t) vor, dann y’(x)= ;

dx= x’(t)dt und daher:

Kommen wir nun zurück zur Lösung unseres Problems.

Lösung. Wir haben, und deshalb

Aufgabe Nr. 3. Wir müssen die Oberfläche S ermitteln, die sich aus der Drehung eines Bogens der Zykloide ergibt

L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – Kosten), 0≤ t ≤ 2π)

In der Integralrechnung gibt es die folgende Formel zum Ermitteln der Oberfläche eines Rotationskörpers um die x-Achse einer parametrisch auf einem Segment definierten Kurve: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤t ≤t 1)

Wenn wir diese Formel auf unsere Zykloidengleichung anwenden, erhalten wir:

Aufgabe Nr. 4. Ermitteln Sie das Volumen des Körpers, das Sie durch Drehen des Zykloidenbogens erhalten

Entlang der Ox-Achse.

In der Integralrechnung gibt es beim Studium von Volumina folgende Bemerkung:

Wenn die ein krummliniges Trapez begrenzende Kurve durch parametrische Gleichungen gegeben ist und die Funktionen in diesen Gleichungen die Bedingungen des Satzes über die Änderung der Variablen in einem bestimmten Integral erfüllen, dann gilt dies für das Volumen des Rotationskörpers des Trapezes um die Ox-Achse nach der Formel berechnet werden

Verwenden wir diese Formel, um das benötigte Volumen zu ermitteln.

Das Problem ist behoben.

Abschluss

Im Zuge dieser Arbeit wurden daher die grundlegenden Eigenschaften der Zykloide geklärt. Wir haben auch gelernt, wie man eine Zykloide baut und haben die geometrische Bedeutung einer Zykloide herausgefunden. Wie sich herausstellte, hat die Zykloide enorme praktische Anwendungen nicht nur in der Mathematik, sondern auch in technischen Berechnungen und in der Physik. Aber die Zykloide hat noch andere Vorzüge. Es wurde von Wissenschaftlern des 17. Jahrhunderts verwendet, als sie Techniken zur Untersuchung gekrümmter Linien entwickelten – Techniken, die letztendlich zur Erfindung der Differential- und Integralrechnung führten. Es war auch einer der „Prüfsteine“, an denen Newton, Leibniz und ihre frühen Forscher die Leistungsfähigkeit leistungsstarker neuer mathematischer Methoden testeten. Schließlich führte das Problem der Brachistochrone zur Erfindung der Variationsrechnung, die für heutige Physiker so notwendig ist. Somit war die Zykloide untrennbar mit einer der interessantesten Perioden in der Geschichte der Mathematik verbunden.

Literatur

1. Berman G.N. Zykloide. – M., 1980

2. Verov S.G. Brachistochrone oder ein anderes Geheimnis der Zykloide // Quantum. – 1975. - Nr. 5

3. Verov S.G. Geheimnisse der Zykloide // Quantum. – 1975. - Nr. 8.

4. Gavrilova R.M., Govorukhina A.A., Kartasheva L.V., Kostetskaya G.S., Radchenko T.N. Anwendungen eines bestimmten Integrals. Methodische Hinweise und Einzelaufgaben für Erstsemesterstudierende der Fakultät für Physik. - Rostow n/a: UPL RSU, 1994.

5. Gindikin S.G. Das Sternenzeitalter der Zykloide // Quantum. – 1985. - Nr. 6.

6. Fikhtengolts G.M. Kurs zur Differential- und Integralrechnung. T.1. – M., 1969

Diese Linie wird „Umschlag“ genannt. Jede gekrümmte Linie ist eine Hülle ihrer Tangenten.

Materie und Bewegung und die Methode, die sie darstellen, ermöglichen es jedem, sein Potenzial in der Erkenntnis der Wahrheit auszuschöpfen. Die Entwicklung einer Methodik zur Entwicklung einer dialektisch-materialistischen Denkform und die Beherrschung einer ähnlichen Erkenntnismethode ist der zweite Schritt zur Lösung des Problems der Entwicklung und Verwirklichung menschlicher Fähigkeiten. Fragment XX Chancen...

In dieser Situation können Menschen eine Neurasthenie entwickeln – eine Neurose, deren klinisches Bild auf einem asthenischen Zustand beruht. Sowohl bei der Neurasthenie als auch bei der Dekompensation einer neurasthenischen Psychopathie spiegelt sich das Wesen der mentalen (psychologischen) Abwehr im Rückzug aus Schwierigkeiten in eine Reizschwäche mit vegetativen Dysfunktionen wider: Entweder „wehrt“ der Mensch den Angriff unbewusst mehr ab. ..

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Bögen. Spiralen sind auch Evolventen geschlossener Kurven, beispielsweise die Evolvente eines Kreises. Die Namen einiger Spiralen ergeben sich aus der Ähnlichkeit ihrer Polargleichungen mit den Kurvengleichungen in kartesischen Koordinaten, zum Beispiel: · parabolische Spirale (a - r)2 = bj, · hyperbolische Spirale: r = a/j. · Stab: r2 = a/j · si-ci-Spirale, deren parametrische Gleichungen die Form haben: , ist eine Konstante b 2.

Kurve wie in den Abbildungen unten, wenn b a bzw.

Wenn b = a, ist die Kurve Lemniskate

PASCALS SCHNECKE
Polargleichung: r = b + acosθ

Sei OQ die Linie, die den Mittelpunkt von O mit einem beliebigen Punkt Q auf einem durch O verlaufenden Kreis mit dem Durchmesser a verbindet. Dann ist die Kurve der Mittelpunkt aller Punkte P, so dass PQ = b.

Die in den folgenden Abbildungen gezeigte Kurve, wenn b > a oder b

CISSOID DES DIOKLES
Gleichung in rechtwinkligen Koordinaten: y 2 = x 3 /(2a - x)

Parametrische Gleichungen:

Dies ist eine Kurve, die durch einen Punkt P beschrieben wird, sodass der Abstand OP = Abstand RS ist. Wird in der Aufgabe verwendet den Würfel verdoppeln, d.h. Finden der Seite eines Würfels, die das Doppelte des Volumens eines gegebenen Würfels hat

ARCHIMEDES-SPIRALE
Polargleichung: r = aθ

Die analysierten Beispiele haben uns geholfen, uns an die neuen Konzepte von Evolute und Evolvente zu gewöhnen. Jetzt sind wir ausreichend vorbereitet, um die Entwicklung von Zykloidenkurven zu untersuchen.

Beim Studium dieser oder jener Kurve haben wir oft eine Hilfskurve erstellt – einen „Begleiter“ dieser Kurve.

Reis. 89. Zykloide und ihr Begleiter.

Also bauten wir Konchoiden aus einer Geraden und einem Kreis, eine Entwicklung eines Kreises, eine Sinuskurve – einen Begleiter einer Zykloide. Basierend auf dieser Zykloide werden wir nun eine Hilfszykloide konstruieren, die untrennbar mit ihr verbunden ist. Es stellt sich heraus, dass die gemeinsame Untersuchung eines solchen Zykloidenpaares in mancher Hinsicht einfacher ist als die Untersuchung einer einzelnen Zykloide. Eine solche Hilfszykloide nennen wir Begleitzykloide.

Betrachten wir die Hälfte des Bogens der Zykloide AMB (Abb. 89). Wir sollten uns nicht schämen, dass diese Zykloide auf ungewöhnliche Weise („auf dem Kopf stehend“) angeordnet ist.

Zeichnen wir 4 Geraden parallel zur Hilfslinie AK in den Abständen a, 2a, 3a und 4a. Konstruieren wir einen erzeugenden Kreis an der Position, die dem Punkt M entspricht (in Abb. 89 ist der Mittelpunkt dieses Kreises durch den Buchstaben O gekennzeichnet). Bezeichnen wir den Rotationswinkel von MON mit . Dann ist das Segment AN gleich (der Winkel wird im Bogenmaß ausgedrückt).

Wir setzen den Durchmesser NT des erzeugenden Kreises über den Punkt T hinaus bis zum Schnittpunkt (am Punkt E) mit der Geraden PP fort. Mit TE als Durchmesser konstruieren wir einen Kreis (mit Mittelpunkt). Konstruieren wir im Punkt M eine Tangente an die Zykloide AMB. Dazu muss der Punkt M bekanntlich mit dem Punkt T verbunden werden (S. 23). Setzen wir die Tangente MT über den Punkt T hinaus fort, bis sie den Hilfskreis schneidet, und nennen wir den Schnittpunkt. Dies ist der Punkt, den wir nun ansprechen wollen.

Wir haben den Winkel MON mit bezeichnet. Daher ist der Winkel MTN gleich (der eingeschriebene Winkel basierend auf demselben Bogen). Das Dreieck ist offensichtlich gleichschenklig. Daher ist nicht nur der Winkel, sondern auch der Winkel jeweils gleich. Somit bleibt für den Bruchteil des Winkels im Dreieck genau das Bogenmaß übrig (denken Sie daran, dass ein Winkel von 180° dem Bogenmaß entspricht). Wir stellen auch fest, dass das Segment NK offensichtlich gleich a () ist.

Betrachten wir nun den in Abb. gezeigten Kreis mit Mittelpunkt. 89 gestrichelte Linie. Aus der Zeichnung ist ersichtlich, um was für einen Kreis es sich handelt. Wenn Sie ihn rollen, ohne entlang der geraden Linie CB zu gleiten, beschreibt sein Punkt B die Zykloide BB. Wenn sich der gestrichelte Kreis um den Winkel dreht, kommt der Mittelpunkt zum Punkt und der Radius nimmt die Position ein. Somit ist der Punkt wir konstruiert stellt sich als Punkt der Zykloide BB heraus,

Die beschriebene Konstruktion verknüpft jeden Punkt M der Zykloide AMB mit einem Punkt der Zykloide in Abb. 90 wird dieser Zusammenhang deutlicher dargestellt. Die so erhaltene Zykloide heißt begleitend. In Abb. In den Abbildungen 89 und 90 stehen die durch dicke gestrichelte Linien dargestellten Zykloiden im Verhältnis zu den durch dicke durchgezogene Linien dargestellten Zykloiden.

Aus Abb. 89 ist klar, dass die Gerade in einem Punkt normal zur begleitenden Zykloide ist. Tatsächlich verläuft diese Gerade durch den Punkt der Zykloide und durch den Tangentialpunkt T des Erzeugerkreises und der Richtlinie („der tiefste“ Punkt des Erzeugerkreises, wie wir einmal sagten; jetzt stellte sich heraus, dass er der ist). „am höchsten“, weil die Zeichnung gedreht ist).

Aber dieselbe Gerade tangiert konstruktionsbedingt die „Haupt“-Zykloide AMB. Somit berührt die ursprüngliche Zykloide jede Normale der begleitenden Zykloide. Es ist die Hülle für die Normalen der begleitenden Zykloide, also ihrer Evolute. Und die „begleitende“ Zykloide erweist sich einfach als eine Evolvente (Abwicklung) der ursprünglichen Zykloide!

Reis. 91 Korrespondenz zwischen den Punkten der Zykloide und ihrer Begleitlinie.

Durch diese umständliche, aber im Wesentlichen einfache Konstruktion haben wir einen bemerkenswerten Satz bewiesen, der vom niederländischen Wissenschaftler Huygens entdeckt wurde. Hier ist dieser Satz: Die Evolute einer Zykloide ist genau dieselbe Zykloide, nur verschoben.

Nachdem wir eine Evolute nicht für einen Bogen, sondern für die gesamte Zykloide konstruiert haben (was natürlich nur mental möglich ist), dann eine Evolute für diese Evolute usw., erhalten wir Abb. 91, fliesenähnlich.

Achten wir darauf, dass wir beim Beweis des Huygens-Theorems weder infinitesimale, unteilbare noch ungefähre Schätzungen verwendet haben. Wir haben nicht einmal Mechanik verwendet; wir haben manchmal Ausdrücke verwendet, die der Mechanik entlehnt sind. Dieser Beweis steht ganz im Sinne der Argumentation der Wissenschaftler des 17. Jahrhunderts, als sie die erzielten Ergebnisse anhand verschiedener Leitüberlegungen streng untermauern wollten.

Eine wichtige Folgerung ergibt sich unmittelbar aus dem Satz von Huygens. Betrachten Sie das Segment AB in Abb. 89. Die Länge dieses Segments beträgt offensichtlich 4a. Stellen wir uns nun vor, dass ein Faden um den Bogen AMB der Zykloide gewickelt, am Punkt A fixiert und am Punkt B mit einem Bleistift ausgestattet ist. Wenn wir den Faden „aufwickeln“, bewegt sich der Bleistift entlang der Entwicklung der Zykloide AMB , also entlang der Zykloide BMB.

Reis. 91 Aufeinanderfolgende Entwicklungen der Zykloide.

Die Länge des Fadens, die der Länge des Halbbogens der Zykloide entspricht, wird offensichtlich gleich dem Segment AB sein, d. h., wie wir gesehen haben, 4a. Folglich beträgt die Länge des gesamten Zykloidenbogens 8a, und die Formel kann nun als ziemlich streng bewiesen angesehen werden.

Aus Abb. 89 können Sie mehr sehen: die Formel nicht nur für die Länge des gesamten Bogens der Zykloide, sondern auch für die Länge jedes ihrer Bögen. Tatsächlich ist es offensichtlich, dass die Länge des Bogens MB gleich der Länge des Segments ist, d. h. des doppelten Tangentensegments am entsprechenden Punkt der Zykloide, das innerhalb des erzeugenden Kreises enthalten ist.