Как следует из модели Марковитца, задавать распределение доходов отдельных ценных бумаг не требуется. Достаточно определить только величины, характеризующие это распределение: математическое ожидание Е 1 , дисперсию D 1 и ковариацию С ik между доходами отдельных ценных бумаг. Это следует проанализировать до составления портфеля. На практике для сравнительного небольшого числа ценных бумаг произвести такие расчеты по определению ожидаемого дохода и дисперсии возможно. При определении же коэффициента корреляции трудоемкость весьма велика. Так, например, при анализе 100 акций потребуется около 500 ковариаций.

Для избежания такой высокой трудоемкости Шарп предложил индексную модель (или модель оценки финансовых активов Capital Asset Pricing Model - CAPМ), представляющую собой зависимость между эффективностью конкретной ценной бумаги и эффективностью рыночного портфеля. Причем он не разработал нового метода составления портфеля, а упростил проблему таким образом, что приближенное решение может быть найдено со значительно меньшими усилиями. Шарп ввел так называемый В-фактор, который играет особую роль в современной теории портфеля.

В индексной модели Шарпа используется тесная (и сама по себе нежелательная из-за уменьшения эффекта рассеивания риска) корреляция между изменениями курсов отдельных акций. Предполагается, что необходимые входные данные можно приблизительно определить при помощи всего лишь одного базисного фактора и отношений, связывающих его с изменением курсов отдельных акций. Предположив существование линейной связи между курсом акции и определенным индексом, можно при помощи прогнозной оценки значения индекса определить ожидаемый курс акции. Помимо этого можно рассчитать совокупный риск каждой акции в форме совокупной дисперсии.

В САРМ-модели предполагается, что эффективность ценной бумаги Х j линейно зависит от некоторого ведущего фактора F, описывающего эффективность рынка в целом, и в то же время на каждую j ценную бумагу влияют и специфические для нее факторы, являющиеся случайными величинами e j . Тогда

Хj = j + j * F + ej

где j и j - некоторые детерминированные величины, а коэффициент j отражает зависимость эффективности бумаги от рыночной конъюнктуры, если j > 0, то эффект бумаги аналогичен эффекту рынка, если j < 0, то эффективность бумаги возрастает, когда эффективность рынка снижается

Для характеристики конкретной ценной бумаги используются и другие параметры. Поскольку вариация эффективности каждой ценной бумаги состоит из “собственной” и “рыночной”, то величина

Rj2 = (j * VF) / Vej

где V F - вариация эффективности рынка;

V ej - вариация “собственной” составляющей эффективности бумаги

будет характеризовать долю риска каждого вклада, вносимую неопределенностью рынка в целом. Из этого выражения видно, что чем больше R 2 , тем меньше доля “собственного” риска бумаги V ej , следовательно, предпочтительней при прочих равных условиях бумаги с большими значениями R 2 .

Если отсчитывать эффективность инвестиций в ценную бумагу от эффективности безрискового вклада r 0 , то параметр

представляет собой превышение эффективности ценной бумаги над безрисковой эффективностью (можно считать это некоторой премией за риск). Если a j < 0, то рыночная цена на эту бумагу завышена, и в ближайшем будущем она может понизиться; если же a j > 0, то рыночная цена занижена, и в будущем вероятно ее повышение. Следовательно, при прочих равных условиях более предпочтительна бумага с a j > 0.

На западных рынках значения, и R 2 регулярно рассчитываются для всех ценных бумаг и публикуются вместе с индексами. Пользуясь этой информацией, инвестор может сформировать собственный портфель ценных бумаг. На российском рынке профессионалы постепенно тоже начинают использовать -, - и R 2 -анализ. Отдельные инвестиционные институты рассчитывают, и R 2 .

Пример. Оптимальная структура портфеля ценных бумаг приведена в таблице 1.2. Оценка оптимальной структуры проводилась по методике Марковитца и основывалась на собранной в базе данных статистической информации о проведении котировок акций и курса доллара США на ММВБ. Для анализа было выбрано 14 эмитентов с наибольшей ликвидностью акций. Кроме того, рассматривалась возможность вложения капитала в твердую валюту - доллар США (валютный портфель).

При анализе лучшим считался тот портфель, который позволяет достигнуть возможно большей средней эффективности (доходности) при фиксированном риске. Под эффективностью понимается доход на единицу вложенного капитала, а мерой риска считалась дисперсия этой эффективности.

Кроме вложения капитала в “рисковые” ценные бумаги, такие ценные бумаги, эффективность вложений в которые есть величина случайная, рассматривалась возможность “безрискового” вклада, или, другими словами, предполагалось существование “безрисковой” ценной бумаги. Ценная бумага является “безрисковой”, если эффективность вложения в нее фиксирована, заранее известна.

Таблица 1.2. Оптимальное распределение капитала по акциям, %

Предусматривалась возможность не только “безрискового” вклада, но и “безрискового” займа, что равносильно возможности “отрицательного” вклада в “безрисковую” ценную бумагу. Разработанная методика оптимизации структуры портфеля предполагает возможность решения и в так называемом “short sale” случае, когда подобный заем возможен и с рисковыми ценными бумагами, но подобные операции еще не распространены на рынке ценных бумаг России, и задача решалась в предположении о неотрицательности вложений в рисковые ценные бумаги.

Если Безрисковая ценная бумага включена в портфель, то оптимальное распределение капитала по “рисковым” акциям не зависит от величины желаемой средней эффективности (среднего дохода) портфеля. Поэтому в первой графе таблицы приведено искомое распределение капитала по рассмотренным “рисковым” бумагам, рассчитанное для случая, когда эффективность безрискового вложения равна 2% в неделю. Поясним, что это есть рекомендуемая структура вложений исходного капитала вместе с занятыми под 2% средствами (или за вычетом вложений под 2% части исходных средств). Остается указать объем “безрискового” займа (вклада) в зависимости от желаемой доходности. Во второй графе приведен этот объем для желаемой эффективности 5% в неделю: заем в размере 108,9% от исходного капитала. Структура распределения по “рисковым” акциям остается той же, но объемы вкладов (указанные в процентах от исходного капитала) зависят от степени желаемой доходности портфеля.

Соответствующая полученной структуре стандартная девиация (квадратный корень от дисперсии) эффективности портфеля также зависит от желаемой доходности и ее значения для рассмотренного случая. Она приведена в таблице 1.2.

В 1963 г. американский экономист У. Шарп (William Sharpe ) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался, и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа (Sharpe single-index model) .

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины – независимую Х и зависимую Y – линейным выражением типа Y = α + β Х. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Шарп в качестве независимой переменной рассматривал доходность r m , вычисленную на основе индекса Standart and Poor’s (S&P500). В качестве зависимой переменной берется доходность r i какой-то i -й ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S&P500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью (Market Model), а доходность r m – доходностью рыночногопортфеля.

Модель Шарпа рассматривает взаимосвязь доходности каждой ценной бумаги с доходностью рынка в целом. Основные допущения модели Шарпа:

– в качестве доходности ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;

– существует некая безрисковая ставка доходности R f , то есть доходность некой ценной бумаги, риск которой всегда минимален по сравнению с другими ценными бумагами;

– взаимосвязь отклонений доходности ценной бумаги от безрисковой ставки доходности (далее отклонение доходности ценной бумаги) с отклонениями доходности рынка в целом от безрисковой ставки доходности (далее отклонение доходности рынка) описывается функцией линейной регрессии ;

– под риском ценной бумаги понимается степень зависимости изменений доходности ценной бумаги от изменений доходности рынка в целом;

– считается, что данные прошлых периодов, используемые при расчете доходности и риска, отражают в полной мере будущие значения доходности.

По модели Шарпа отклонения доходности ценной бумаги связываются с отклонениями доходности рынка функцией линейной регрессии вида

где (r i – R f ) – отклонение доходности ценной бумаги от безрисковой; (R m – R f ) – отклонение доходности рынка от безрисковой; α, β – коэффициенты регрессии.

Исходя из этой формулы можно по прогнозируемой доходности рынка ценных бумаг в целом рассчитать доходность любой ценной бумаги, его составляющей :

где α i , β i – коэффициенты регрессии, характеризующие данную ценную бумагу.

Теоретически если рынок ценных бумаг находится в равновесии, то коэффициент α i будет равен нулю. Но так как на практике рынок всегда разбалансирован, то α i показывает избыточную доходность данной ценной бумаги (положительную или отрицательную), т.е. насколько данная ценная бумага переоценивается или недооценивается инвесторами.

Коэффициент β называют β -риском, так как он характеризует степень зависимости отклонений доходности ценной бумаги от отклонений доходности рынка в целом.

Кроме того, модель Шарпа имеет особенность: существует опасность, что оцениваемое отклонение доходности ценной бумаги не будет принадлежать построенной линии регрессии. Этот риск называют остаточным риском . Остаточный риск характеризует степень разброса значений отклонений доходности ценной бумаги относительно линии регрессии. Остаточный риск определяют как среднее квадратическое отклонение эмпирических точек доходности ценной бумаги от линии регрессии . Остаточный риск i -й ценной бумаги обозначают σ ri . Показатель риска вложения средств в данную ценную бумагу определяется β -риском и остаточным риском.

В соответствии с моделью Шарпа доходность портфеля ценных бумаг – это среднее взвешенное значение показателей доходности ценных бумаг, его составляющих, с учетом β -риска. Доходность портфеля определяется по формуле

, (29)

где R f – безрисковая доходность; R m – ожидаемая доходность рынка в целом.

Риск портфеля ценных бумаг определяется с помощью оценки среднего квадратичного отклонения функции R f и определяется по формуле

, (30)

где σ m – среднее квадратическое отклонение доходности рынка в целом, то есть показатель риска рынка в целом; β i , σ ri – β -риск и остаточный риск i -й ценной бумаги.

При практическом применении модели Шарпа для оптимизации фондового портфеля используются следующие допущения:

– в качестве безрисковой ставки доходности принимают доходность государственных ценных бумаг, например облигаций внутреннего государственного займа;

– в качестве доходности рынка ценных бумаг в целом в период t используются экспертные оценки рыночной доходности от аналитических компаний, из средств массовой информации и т. п. В условиях развитого фондового рынка для этих целей принято использовать какие-либо фондовые индексы .

Основной недостаток модели – необходимость прогнозировать доходность фондового рынка и безрисковую ставку доходности. Модель не учитывает колебаний безрисковой доходности. Кроме того, при значительном изменении соотношения между безрисковой доходностью и доходностью фондового рынка модель дает искажения. Таким образом, модель Шарпа применима при рассмотрении значительного количества ценных бумаг, описывающих бо льшую часть относительно стабильного фондового рынка.

Вопросы

2. Назовите методы формирования портфеля ценных бумаг

3. Какие риски инвестирования в ценные бумаги Вы знаете?

4. Как рассчитывается ожидаемая доходность портфеля?

5. Объясните механизм построения мультииндексной модели «доходность-риск» Г. Марковица.

6. Каким образом определяется множество эффективных портфелей на основе модели единичного индекса?

Заключение

Формирование и развитие финансового рынка России осуществляется в сложных условиях и сталкивается с множеством проблем объективного и субъективного характера. Рынок, который начинал свое функционирование «с чистого листа», в отсутствии знаний, практических навыков, деловых традиций и обычаев, вынужден был приспосабливаться к развитому механизму финансового посредничества, функционирующему как в национальных, так и в международных рамках. Глобализация финансовых рынков, являющаяся одной из ключевых тенденций конца ХХ-го века, означает необходимость для России соответствовать принятым в мире стандартам и «правилам игры».

На фондовом рынке с помощью финансовых посредников происходит перераспределение денежных средств от инвесторов к эмитентам на основе ценных бумаг. В зависимости от видов финансовых институтов, которые выполняют функции финансовых посредников, выделяют банковскую, небанковскую и смешанную модель рынка ценных бумаг. В России формируется смешанная модель.

Регулирование рынка ценных бумаг преследует ряд целей, основной из которых является создание нормальных условий для функционирования самого рынка и всех его добросовестных участников. Базовым принципом функционирования рынка ценных бумаг является доверие инвесторов к рынку, которое обеспечивается поддержанием честности и открытости со стороны участников рынка, недопущением ущемления прав инвесторов и участников рынка. В обеспечении доверия инвесторов к рынку ценных бумаг заинтересованы государство, эмитенты и профессиональные участники рынка. Обеспечение доверия инвесторов к рынку осуществляется посредством законодательных и этических норм.

Изучение развития финансового рынка как механизма привлечения финансовых ресурсов в сферу реального производства, особенно в наиболее перспективные с точки зрения эффективности и рентабельности секторы экономики, поможет молодым специалистам принимать квалифицированные решения при размещении свободных активов.

Рынок ценных бумаг живет ожиданиями развития макроэкономических тенденций, политических событий, ожиданиями, связанными с результатами деятельности отдельных компаний, с действиями конкретных персонажей политико-экономической системы.

Изучение механизмов обращения ценных бумаг во всем их многообразии позволит не только прогнозировать динамические процессы рынка, но и оценивать перспективы и тенденции отдельных отраслей и экономики в целом.

Продолжаем тему анализа рынков и портфельного менеджмента. На сей раз рассмотрим тему индексной модели известнейшего американского экономиста Уильяма Шарпа (за что тот, кстати, получил нобелевскую премию по экономике в 1990 году). На сегодняшний день крупнейшие инвестиционные дома и фонды мира, а также международные банки используют именно эту модель для расчета рисков вложений в те или иные активы. Сразу хочется отметить, что теоретическая часть этой модели довольно сложная для освоения, поэтому если будут вопросы, можете задать под статьей либо в рубрике «задай вопрос аналитику».

Суть ее заключается в том, чтобы уже имеющиеся методы построения портфелей максимально упростить для снижения трудоемкости процесса (порой для построения портфеля ценных бумаг линейными методами не хватало даже целого штата профессиональных управляющих и финансовых аналитиков). В частности, данная модель использует регрессионный анализ рынка – то есть анализ исторических данных котировок. Понятно, что при ручном регрессионном анализе каждого актива из общей выборки, которая может достигать до нескольких тысяч, потребуется очень значительное время даже при большом штате компетентных сотрудников, поэтому еще в 60-е годы Шарп предложил использовать индексный метод регрессионного анализа для облегчения этого процесса. Сама формула расчета коэффициента Шарпа довольно простая:

S=(R a -R f)/s a , где

R a – доходность непосредственного актива;

R f – доходность безрисковой инвестиции;

s a – стандартное отклонение актива.

В частности, введено понятие бета-коэффициента, о котором было уже немало рассказано во многих статьях. Формула расчета бета всем хорошо известна: b= Cov am /s 2 m , где Cov am – ковариация дохоности актива с рынком, а s 2 m – дисперсия доходности рынка. Данный показатель указывает на степень риска вложений в тот или иной . Долго расписывать тут про это понятие нет смысла, так как цель данной статьи состоит в другом, а более подробно о расчете бета-коэффициента вы можете прочитать в других статьях на моем блоге. Суть модели Шарпа состоит в том, чтобы использовать в качестве бенчмарка уже рассчитанный индекс, исходя из которого и проводился бы расчет риска. Общая же зависимость ценной бумаги от индекса записывается в виде формулы:

r ia =a am +b am r im +e am , где

a am – коэффициент смещения (альфа-коэффициент);

b am – коэффициент наклона (бета-коэффициент);

e am – случайная погрешность;

r ia – доходность актива за i период;

r im – доходность рынка за аналогичный период.

Согласно теории Шарпа, бета-коэффициент указывает на зависимость актива от динамики рынка, а в свою очередь альфа-коэффициент – это доходность актива вне зависимости от конъюнктуры рыночного индекса. В случае с бета предполагается, что этот коэффициент статичен от периода к периоду, и поэтому для его расчета достаточно применения метода обычной линейной регрессии. Альфа-коэффициент, в свою очередь, указывает на переоцененность (в случае положительного альфа) или напротив – недооцененность того или иного актива относительно рынка (в случае отрицательного альфа).

Теперь же постараемся обобщить материал непосредственно по модели Уильяма Шарпа. Итак, цель данной модели – упростить линейные методы построения инвестиционных портфелей и регрессионного анализа за счет использования индексов (то есть доходности бенчмарка – фондового индекса либо индивидуально построенного рыночного индекса). Для этого проводится регрессионный анализ – то есть анализируются исторические данные котировок конкретного актива и рынка. При этом ставится задача выявить зависимость изменения цены актива от динамики бенчмарка и исходя из этого рассчитать в конечном итоге коэффициент риска, который станет индикатором актуальности инвестирования в актив. Вот собственно и все. В одном из последующих статей будет выложен конкретный пример расчета коэффициента Шарпа и его использования непосредственно при построении портфеля.

Будьте в курсе всех важных событий United Traders - подписывайтесь на наш

Пример построения модели CAPM приведен в статье:
Построение модели CAPM для российского фондового рынка.

Создадим новый рабочий лист в Excel и построим следующую таблицу. Используя поиск решений нам необходимо найти доли акций в новом инвестиционном портфеле. На рисунке, они помечены синей колонкой. Перед нами стоит прямая задача максимизации доходность инвестиционного портфеля с ограничением на риск. Максимальный риск установим на отметке 5%. Заполним дополнительные столбцы для расчета доходности и риска.

R*W= B2*G2 – произведение средней доходности и весов;
β*W=G2*C2 – произведение бета акции и веса;
(β*W)^2=I2*I2 – квадрат произведения;
σ^2*W^2=D2*D2*G2*G2 – произведение квадратов;
СУММА W =СУММ(G2:G6) –сумма весов портфеля.

Формула расчета целевой ячейки с доходностью портфеля (C9) будет следующая.
=СУММ(B2*G2;B3*G3;B4*G4;B5*G5;G6*B6)+F4*СУММ(C2*G2;C3*G3;C4*G4;C5*G5;C6*G6)

Формула расчета риска инвестиционного портфеля:
=КОРЕНЬ(J7*E4*E4+K7)

Для нахождения оптимальной структуры портфеля загрузим надстройку «Поиск решений». Выберем целевую функция – ячейку с доходностью (С9). Ее мы будем максимизировать. Для этого будем изменять доли акций в портфеле – диапазон ячеек C2:G6. Необходимо так же наложить ограничения на риск и веса акций. Веса должны быть положительны, сумма их должна не превышать единицы и риск рассчитанный в ячейке С10 должен быть меньше 5%.

В итоге мы получаем расчет долей акций в нашем инвестиционном портфеле. В итоге мы получили следующее соотношений весов акций в портфеле. Доля акций Аэрофлота (AFLT) составляет 37.7%, доля акций Якутэнерго (YKEN) составляет 40.5%, доля акций Сбербанка (SBER) 1.3%, доля акций Лукойла (LKOH) 0% и доля акций ГМКНорНикель (GMKN) 20.5%.

И так проведем качественное сравнение трех моделей формирования инвестиционного портфеля: модель Г.Марковица, модель У.Шарпа (CAPM) и модель «Квази - Шарпа».

Модель Марковица рационально использовать на стабильных рынках с повышающей доходностью, когда портфель формируется из акций, принадлежащих различным отраслям. Недостаток этой модели - это оценка доходности как среднеарифметическое доходностей за предыдущие периоды.

Модель У. Шарпа применяется для рассмотрения большого количества ценных бумаг, охватывающих большую часть фондового рынка. Недостаток этой модели – это необходимость прогнозирования доходности фондового рынка и безрисковую ставку доходности.

Модель «Квази- Шарпа » рационально использовать при рассмотрении небольшого числа ценных бумаг, принадлежащих одной или нескольким отраслям. С помощью этой модели хорошо поддерживать оптимальную структуру уже созданного инвестиционного портфеля. Недостатком этой модели можно считать не учет глобальных тенденций, которые влияют на доходность портфеля.