Разделы сайта
Выбор редакции:
- К чему снятся грибы во сне женщине
- Икра кабачковая обжаренная Как сделать кабачковую икру на сковороде
- Расстрел толкование сонника Весть о расстреле мужа сонник
- Как потушить рыбу в сковороде
- Домашние алкогольные напитки из ягод и фруктов
- Религия христианство, её основы и суть Стадия актуальной эсхатологии
- Именины у федора по церковному
- Рецепт ткемали из сливы и алычи: классический способ и адаптированные варианты
- Морковный пп торт-чизкейк без муки, масла и сахара Низкокалорийный морковный пирог рецепт
- Секреты классификации бренди XO и VSOP
Реклама
Линейная функция, ее свойства и график. Линейная функция На рисунке изображены графики линейных функций вида |
Линейной функцией называется функция вида y = kx + b , заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k – угловой коэффициент (действительное число), b – свободный член (действительное число), x – независимая переменная. В частном случае, если k = 0 , получим постоянную функцию y = b , график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b) . Если b = 0 , то получим функцию y = kx , которая является прямой пропорциональностью. b – длина отрезка , который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат. Геометрический смысл коэффициента k – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки. Свойства линейной функции: 1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось; 2) Если k ≠ 0 , то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0 , то область значений линейной функции состоит из числа b ; 3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b . a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b – четная; b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx – нечетная; c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b – функция общего вида; d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 – как четная, так и нечетная функция. 4) Свойством периодичности линейная функция не обладает; 5) Точки пересечения с осями координат: Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k , следовательно (-b/k; 0) – точка пересечения с осью абсцисс. Oy: y = 0k + b = b , следовательно (0; b) – точка пересечения с осью ординат. Замечание.Если b = 0 и k = 0 , то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х . Если b ≠ 0 и k = 0 , то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х . 6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k. a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k. y = kx + b – положительна при x из (-b/k; +∞) , y = kx + b – отрицательна при x из (-∞; -b/k) . b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k. y = kx + b – положительна при x из (-∞; -b/k) , y = kx + b – отрицательна при x из (-b/k; +∞) . c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения, k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения. 7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k . k > 0 , следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения, k < 0 , следовательно y = kx + b убывает на всей области определения. 8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b . Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует. Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса "вымучивают" свойства параболы и строят ее графики для различных параметров. Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на "чтение" графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов. Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач. Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с ) нулю равняться могут. Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов. Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: " если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0. y = 0,5x 2 - 3x + 1 В данном случае а = 0,5 А теперь для а < 0: y = - 0,5x2 - 3x + 1 В данном случае а = - 0,5 Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу: y = a 0 2 + b 0 + c = c . Получается, что у = с . То есть с - это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с < 0. с > 0: y = x 2 + 4x + 3 с < 0 y = x 2 + 4x - 3 Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат: y = x 2 + 4x Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле х в = - b/(2а) . Таким образом, b = - 2ах в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х в > 0) или левее (х в < 0) она лежит. Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а . То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = - 2ах в определить знак b . Рассмотрим пример:
Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в > 0. Значит b = - 2ах в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, с < 0. Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа. 1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y. Например, чтобы построить график функции y= ⅓
x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3.
Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= ⅓
x+2: 2.
В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности: Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX. Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3) Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3 На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3) Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3 Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые. Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках: Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b. Если k>0 и b>0 , то график функции y=kx+b имеет вид: Если k>0 и b , то график функции y=kx+b имеет вид: Если k, то график функции y=kx+b имеет вид: Если k=0 , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид: Ординаты всех точек графика функции y=b равны b Если b=0 , то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат: 3. Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a. Например, график уравнения x=3 выглядит так: 4. Условие параллельности двух прямых: График функции y=k 1 x+b 1 параллелен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 =k 2 5. Условие перепендикулярности двух прямых: График функции y=k 1 x+b 1 перепендикулярен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 *k 2 =-1 или k 1 =-1/k 2 6. Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат. С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b). С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0): «Рисунки для слайдов» - Факультативный курс «Мир мультимедиа технологий». Рисунки на слайдах. В) можно перенести рисунок захватив мышкой за середину. Вставка рисунков на слайд. Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 5. 95% информации воспринимается человеком с помощью органов зрения … «Функции и их графики» - 3.Функция тангенс. Тригонометрические. Функция определена и непрерывна на всем множестве действительных чисел. Определение: Числовая функция, заданная формулой y = cos x, называется косинусом. 4.Функция котангенс. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке. «Функции нескольких переменных» - Наибольшее и наименьшее значения функции. Теорема Вейерштрасса. Внутренние и граничные точки. Предел функции 2-х переменных. График функции. Теорема. Непрерывность. Ограниченная область. Открытая и замкнутая области. Производные высших порядков. Частные производные. Частные приращения функции 2-х переменных. «3d рисунки на асфальте» - Свои первые работы курт стал создавать в 16 лет в Санта-Барбаре, где и пристрастился к уличному искусству. 3d рисунки на асфальте. Курт Веннер – один из самых известных уличных художников, который рисует 3D рисунки на асфальте при помощи обычных мелков. США. В молодости Курт Веннер работал художником-иллюстратором в NASA, где создавал первоначальные изображения будущих космических кораблей. «Тема Функция» - Если ученики работают по-разному, то и учитель должен с ними работать по-разному. Нужно выяснить не то, что ученик не знает, а то, что он знает. Обобщение. Синтез. Результаты ЕГЭ по математике. Программа факультативного курса. Ассоциация. Учебно-тематический план (24 часа). Аналогия. Если ученик превзошел учителя – вот это и есть учительское счастье. Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, заданная на множестве всех действительных чисел. Здесь k - угловой коэффициент (действительное число), b - свободный член (действительное число), x - независимая переменная. В частном случае, если k = 0, получим постоянную функцию y = b, график которой есть прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку с координатами (0; b). Если b = 0, то получим функцию y = kx, которая является прямой пропорциональностью. Геометрический смысл коэффициента b - длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат. Геометрический смысл коэффициента k - угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, считается против часовой стрелки. Свойства линейной функции: 1) Область определения линейной функции есть вся вещественная ось; 2) Если k ≠ 0, то область значений линейной функции есть вся вещественная ось. Если k = 0, то область значений линейной функции состоит из числа b; 3) Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b. a) b ≠ 0, k = 0, следовательно, y = b - четная; b) b = 0, k ≠ 0, следовательно y = kx - нечетная; c) b ≠ 0, k ≠ 0, следовательно y = kx + b - функция общего вида; d) b = 0, k = 0, следовательно y = 0 - как четная, так и нечетная функция. 4) Свойством периодичности линейная функция не обладает; Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следовательно (-b/k; 0) - точка пересечения с осью абсцисс. Oy: y = 0k + b = b, следовательно (0; b) - точка пересечения с осью ординат. Замечание.Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х. Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в ноль ни при каких значениях переменной х. 6) Промежутки знакопостоянства зависят от коэффициента k. a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k. y = kx + b - положительна при x из (-b/k; +∞), y = kx + b - отрицательна при x из (-∞; -b/k). b) k < 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k. y = kx + b - положительна при x из (-∞; -b/k), y = kx + b - отрицательна при x из (-b/k; +∞). c) k = 0, b > 0; y = kx + b положительна на всей области определения, k = 0, b < 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения. 7) Промежутки монотонности линейной функции зависят от коэффициента k. k > 0, следовательно y = kx + b возрастает на всей области определения, k < 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения. 8) Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b. Ниже приведена таблица, которая наглядно это иллюстрирует рисунок 1. (Рис.1) Пример.Рассмотрим следующую линейную функцию: y = 5x - 3. 3) Функция общего вида; 4) Непериодическая; 5) Точки пересечения с осями координат: Ox: 5x - 3 = 0, x = 3/5, следовательно (3/5; 0) - точка пересечения с осью абсцисс. Oy: y = -3, следовательно (0; -3) - точка пересечения с осью ординат; 6) y = 5x - 3 - положительна при x из (3/5; +∞), y = 5x - 3 - отрицательна при x из (-∞; 3/5); 7) y = 5x - 3 возрастает на всей области определения; сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. |
Читайте: |
---|
Популярное:
Новое
- Икра кабачковая обжаренная Как сделать кабачковую икру на сковороде
- Расстрел толкование сонника Весть о расстреле мужа сонник
- Как потушить рыбу в сковороде
- Домашние алкогольные напитки из ягод и фруктов
- Религия христианство, её основы и суть Стадия актуальной эсхатологии
- Именины у федора по церковному
- Рецепт ткемали из сливы и алычи: классический способ и адаптированные варианты
- Морковный пп торт-чизкейк без муки, масла и сахара Низкокалорийный морковный пирог рецепт
- Секреты классификации бренди XO и VSOP
- Самые скверные и стервозные знаки зодиака