Квадрат — это четырехугольник, имеющий равные стороны и углы.

Диагональ квадрата — это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины.

Параллелограмм , ромб и прямоугольник так же являются квадратом, если они имеют прямые углы, одинаковые длины сторон и диагоналей.

Свойства квадрата

1. Длины сторон квадрата равны.

AB=BC=CD=DA

2. Все углы квадрата прямые.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^{\circ}

3. Противолежащие стороны квадрата параллельны друг другу.

AB \parallel CD, BC \parallel AD

4. Сумма всех углов квадрата равна 360 градусов.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^{\circ}

5. Величина угла между диагональю и стороной равна 45 градусов.

\angle BAC = \angle BCA = \angle CAD = \angle ACD = 45^{\circ}

Доказательство

Квадрат является ромбом \Rightarrow AC — биссектриса угла A , и он равняется 45^{\circ} . Тогда AC делит \angle A , и \angle C на 2 угла по 45^{\circ} .

6. Диагонали квадрата — тождественны, перпендикулярны и разделяются точкой пересечения пополам.

AO = BO = CO = DO

\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle AOD = 90^{\circ}

AC = BD

Доказательство

Так как квадрат это прямоугольник \Rightarrow диагонали равны; так как — ромб \Rightarrow диагонали перпендикулярны. А так как — параллелограмм, \Rightarrow диагонали разделены точкой пересечения пополам.

7. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника.

\triangle ABD = \triangle CBD = \triangle ABC = \triangle ACD

8. Обе диагонали делят квадрат на 4 равнобедренных прямоугольных треугольника.

\triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD

9. Если сторона квадрата равна a, то, диагональ будет равна a \sqrt{2} .

Когда у них одинаковые длины диагоналей, сторон и равные углы.

Свойства квадрата.

У всех 4-х сторон квадрата одинаковая длина, т.е. стороны квадрата равны:

AB = BC = CD = AD

Противолежащие стороны квадрата параллельны:

AB || CD , BC || AD

Все диагонали делят угол квадрата на две равные части, таким образом, они оказываются биссектрисами углов квадрата:

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD

∠ ACB = ∠ ACD = ∠ BDC = ∠ BDA = ∠ CAB = ∠ CAD = ∠ DBC = ∠ DBA = 45°

Диагонали делят квадрат на 4 одинаковых треугольника , кроме того, полученные треугольники в одно время и равнобедренные и прямоугольные:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

Диагональ квадрата.

Диагональю квадрата является всякий отрезок, который соединяет 2-е вершины противолежащих углов квадрата.

Диагональ всякого квадрата больше стороны этого квадрата в √2 раз.

Формулы для определения длины диагонали квадрата:

1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:

2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата :

3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата :

4. Сумма углов квадрата = 360°:

5. Диагонали квадрата одной длины:

6. Все диагонали квадрата делят квадрат на 2-е одинаковые фигуры, которые симметричны:

7. Угол пересечения диагоналей квадрата равен 90°, пересекая друг друга, диагонали делятся на две равные части:

8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l:

9. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности :

R - радиус вписанной окружности;

D - диаметр вписанной окружности;

d - диагональ квадрата.

10. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:

R - радиус описанной окружности;

D - диаметр описанной окружности;

d - диагональ.

11. Формула диагонали квадрата через линию, которая выходит из угла на середину стороны квадрата:

C - линия, которая выходит из угла на середину стороны квадрата;

d - диагональ.

Вписанный круг в квадрат - это круг, примыкающий к серединам сторон квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус вписанной окружности - сторона квадрата (половина).

Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в π/4 раза.

Круг, описанный вокруг квадрата - это круг, который проходит через 4-ре вершины квадрата и который имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус окружности описанной вокруг квадрата больше радиуса вписанной окружности в √2 раз.

Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен 1/2 диагонали.

Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.

Квадратом называют геометрическую фигуру с равными сторонами и углами. Об этом большинство из нас знают еще со школы. А вот какими свойствами он обладает и как вычисляются его площадь и периметр, помнят, к сожалению, не все.

Поэтому в данной статье речь пойдет о том, что такое квадрат, более подробно.

Основное определение и свойства квадрата

Итак, квадрат представляет собой правильный четырехугольник (прямоугольник), обладающий равными сторонами и углами. Прямоугольник является параллелограммом, следовательно, квадрат также следует считать параллелограммом. Кроме того, учитывая, что все стороны квадрата имеют одинаковую длину, он является и ромбом. Таким образом, можно сделать вывод, что квадрат обладает некоторыми свойствами как ромба, так и прямоугольника.

Каковы же свойства квадрата? Во-первых, у него все углы являются прямыми, а диагонали и стороны такого прямоугольника равны друг другу. Во-вторых, диагонали квадрата не только взаимно перпендикулярны, но и выступают биссектрисами углов четырехугольника. В точке пересечения они делятся пополам.

Как вычислить периметр и площадь квадрата

Для вычисления площади и периметра квадрата необходимо знать значение одной стороны данного прямоугольника либо диагонали. Поскольку стороны у него имеют одинаковую длину, то для того чтобы узнать периметр квадрата, следует умножить значение стороны на 4 или просто сложить все 4 стороны: полученная сумма и является периметром. К примеру, длина одной стороны вашего квадрата 5 см. Следовательно, 5 нужно умножить на 4 (5 х 4 = 20) или же сложить все стороны: 5+5+5+5 = 20. Это самый простой способ вычисления.

Периметр квадрата вычисляется также с помощью значения диагонали. Сначала прочтите нашу статью по теме . Периметр квадрата равен произведению длины диагонали на 2 корня из 2. Это означает, что если длина диагонали у вашего квадрата 10 см, то следует из 2 вывести корень (что будет равно приблизительно 1,4) и умножить на 2, затем на длину. Таким образом, 1,4 х 2 х 10 = 28 см (если округлить). То есть периметр квадрата с диагональю 10 см будет равен около 28 см.

Для вычисления площади квадрата используется простой метод: следует возвести в квадрат длину одной стороны. Так, если она составляет 4 см, то следует 4 умножить на 4. Получается, что площадь квадрата со стороной 4 см равна 16 см.

- (лат. quadratum, от quadrare сделать четырехугольным). 1) прямоугольный, равносторонний четырехугольник. 2) такое число, которое, будучи умножено само на себя, дает данное число. 3) единица для измерения плоскостей; напр.: квадратн. фут, дюйм и… … Словарь иностранных слов русского языка

В квадрате. Жарг. мол. Пренебр. О крайне тупом, безнадёжно глупом человеке. /i> Квадрат глупый, несообразительный чаловек. Никитина 1996, 82. Квадрат твою гипотенузу! Жарг. шк. Бран. Выражение досады, раздражения, негодования. ВМН 2003, 62.… … Большой словарь русских поговорок

КВАДРАТ, в биологии квадратная рама, используемая для разметки участка поверхности с целью изучения растений, находящихся на нем. Квадратом называют также и сам этот участок почвы. Как правило, такой квадрат равен 0,5 или 1 м2. Пользуясь этим… … Научно-технический энциклопедический словарь

КВАДРАТ, квадрата, муж. (лат. quadratus четырехугольный). 1. Равносторонний прямоугольник (мат.). 2. Форма такого прямоугольника у какого нибудь предмета (книжн.). Ярко освещенный квадрат окна. 3. Четырехугольный гартовый брусок мера для… … Толковый словарь Ушакова

Муж. равносторонний и прямоугольный четыреугольник; народ называет его круглым четыреугольником или клеткою. Разбить площадь на квадраты, на участки этого вида. | Квадрат числа, произведение его от умножения самого на себя. Узор квадратцами или… … Толковый словарь Даля

В полиграфии, 1) единица длины, применяемая для измерения шрифтов, формата набора. 1 квадрат = 48 пунктам (ок. 18,05 мм).2) Разновидность пробельного материала для заполнения крупных промежутков в строках … Большой Энциклопедический словарь

Параллелограмм, клетка, материал, прямоугольник, степень, квадратик Словарь русских синонимов. квадрат сущ., кол во синонимов: 9 гиперкуб (12) … Словарь синонимов

квадрат - КВАДРАТ, а, м. Тюрьма; камера. квадрат топтать находиться в тюрьме, камере. Из уг … Словарь русского арго

квадрат - (Quad) 1. Одна из основных единиц типометрической системы Дидо, равная 4 цицеро, или 48 пунктам. 1 квадрат равен 18,048 мм. 2. Пробельный материал, используемый при изготовлении наборных печатных форм способа высокой печати. Квадраты различают по … Шрифтовая терминология

«Квадрат» - «Квадрат», клуб любителей джазовой музыки (джаз клуб). Создан в 1964 при ДК имени Ленсовета (с 1965 размещался в ДК имени С. М. Кирова, с 1986 — во Дворце молодёжи). Объединяет музыкантов и любителей классического джаза. «Квадрат» продолжил… … Энциклопедический справочник «Санкт-Петербург»

- (от латинского quadratus четырехугольный), 1) равносторонний прямоугольник. 2) Вторая степень a2 числа a (название связано с тем, что именно так выражается площадь квадрата со стороной a) … Современная энциклопедия

Книги

• Квадрат. Из истории российского джаза , . В книге собраны избранные материалы по истории российского джаза, публиковавшиеся в 60-80-е годы прошлого века на страницах легендарного неофициального самиздатского машинописного журнала…
• Квадрат , Вилли Карлссон. Книгу видного деятеля Коммунистической партии Дании можно назвать подлинной летописью рабочего движения в стране в бурную эпоху с начала кризиса 30-X годов до оккупации Дании нацистами.…